一、问题求解的计算之道

人们在生活、生产、学习、创造的过程中总会遇到各种各样的问题。为了解决这些问题，人们使用占卜、求神、经验、数学、实验、模型、哲学等各种各样的方法和工具。而其中数学才是解决问题最强有力的工具，尽管数学本身也存在着很多问题（有些问题无法用数学语言明确表述、或者有些可明确表述的问题仍无法解决）。

1. 基于有穷观点的能行方法

为了解决数学本身的可检验性问题，数学家希尔伯特提出“能否找到一种基于有穷观点的能行方法，来判定任何一个数学命题的真假”。

这种方法的特征如下：

• 由有限数量的明确有限指令构成；
• 指令在执行有限步骤后终止；
• 指令每次执行都总能得到唯一结果；
• 原则上可以由人单独采用纸笔完成，而不需要依靠其他辅助；
• 每条指令可以机械地被精确执行，而不需要智慧和灵感。

2. 关于“计算”的几种数学模型

• 哥德尔和克莱尼的递归函数模型；
• 丘奇的Lambda演算模型；
• 波斯特的Post机模型；
• 图灵的图灵机模型。

以上的几种“基于有穷观点的能行方法”的计算模型，全部都是等价的。也就是说，在一个模型中能解决的问题，在其他模型中也是可以解决的。

希尔伯特的计划最终被证明无法实现。但**“能行可计算”概念成为计算机理论的基础**，比如：图灵机成为了现代计算机的理论基础。

二、图灵机计算模型

1. 图灵机（Turing Machine）基本概念

图灵机是一种理论上的数学模型或者说抽象的机器，并不是某台具体的机器。基本思想是用机器模拟人们用纸笔进行数学运算的过程，但比数值计算更简单：

• 在纸上写上或擦除某个符号；

• 把注意力从纸上的一个位置转向另一个位置；

• 在每个阶段，要决定的下一步动作依赖于：

  （1）此人当前所关注的纸上某个位置的符号；

  （2）此人当前思维的状态。

2. 图灵机的基本定义

图灵机由以下部分构成：

• 一条无限长的分格纸带，每格可以记录一个符号；
• 一个读写头，可以在纸上左右移动，能读写格子上的字符；
• 一个状态寄存器，记录有限状态中的1个状态；
• 一系列有限的控制规则（如何移动读写头，什么状态下写入什么字符等）。
  
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图灵机模拟器软件：Visual Turing