机器学习数学基础：23.二次型及其标准形

二次型及其标准形

m0_65104419

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m0_65104419 · 2025-02-12 16:59:00 发布

一、二次型基础

（一）定义剖析

二次型是包含 $N$ 个变量 $,XNX_1, X_2, \cdots, X_N$ 的不含常数项的二次齐次多项式。所谓二次齐次，即每一项中未知数的次数总和恒为 $2$ 。

例如，当 $\ = 3$ 时， $f(x_1, x_2, x_3)\ =2x_1^2 + 3x_1x_2 - 4x_2x_3+5x_3^2$ 是二次型。其中 $2x_1^2$ 中 $x_1$ 次数为 $2$ ； $3x_1x_2$ 里 $x_1$ 与 $x_2$ 次数和为 $2$ ； $4x_2x_3$ 中 $x_2$ 与 $x_3$ 次数和是 $2$ ； $5x_3^2$ 中 $x_3$ 次数为 $2$ 。

（二）与矩阵的紧密联系

任意二次型均可写成 $X^TAX$ 的形式。其中 $=(x1x2⋮xN)X\ =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_N\end{pmatrix}$ 是变量构成的列向量， $A$ 是对称矩阵且具有唯一性。

以 $f(x_1, x_2)\ =4x_1^2 + 6x_1x_2 + 8x_2^2$ 为例，可写成 $(x1x2)(4338)(x1x2)\begin{pmatrix}x_1&x_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}4&3\\3&8\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ 。这里的对称矩阵 $(4338)\begin{pmatrix}4&3\\3&8\end{pmatrix}$ 便是该二次型对应的矩阵。

（三）二次型矩阵的生成方法

以含有四个变量 $x_1, x_2, x_3, x_4$ 的二次型 $f(x_1, x_2, x_3, x_4)\ =3x_1^2 + 5x_1x_2+7x_1x_3 + 9x_1x_4+11x_2x_1+13x_2^2+15x_2x_3 + 17x_2x_4+19x_3x_1+21x_3x_2+23x_3^2+25x_3x_4+27x_4x_1+29x_4x_2+31x_4x_3+33x_4^2$ 为例。

构建一个 $4×44\times4$ 的表格：

	$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
$x_1$
$x_2$
$x_3$
$x_4$

对于 $x_1^2$ 的系数 $3$ ，填入第一行第一列；对于 $x_1x_2$ 的系数 $5$ ，将其一半 $52\frac{5}{2}$ 分别填入第一行第二列和第二行第一列；对于 $x_1x_3$ 的系数 $7$ ，把 $72\frac{7}{2}$ 分别填入第一行第三列和第三行第一列；以此类推。

最终得到二次型矩阵 $\ = \begin{pmatrix}3&\frac{5}{2}&\frac{7}{2}&\frac{9}{2}\\\frac{5}{2}&13&\frac{15}{2}&\frac{17}{2}\\\frac{7}{2}&\frac{15}{2}&23&\frac{25}{2}\\\frac{9}{2}&\frac{17}{2}&\frac{25}{2}&33\end{pmatrix}$ 。

二、线性变换与二次型标准型

（一）线性变换的基本认知

线性变换是对向量实施的一种变换操作。若有向量 $=(x1x2)X\ =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ ，矩阵 $=(2345)C\ =\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}$ ，则 $\ = CX\ =\begin{pmatrix}2&3\\4&5\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}2x_1 + 3x_2\\4x_1+5x_2\end{pmatrix}$ ，实现了向量 $X$ 到向量 $Y$ 的变换。

（二）可逆线性变换的特性

可逆线性变换存在逆操作，能将变换后的向量还原。如 $\ = CX$ ，若存在矩阵 $C^{-1}$ 使 $X \ = C^{-1}Y$ ，则该线性变换可逆。可逆线性变换不会丢失信息，而不可逆变换因可能导致信息缺失，在二次型研究中通常不被考虑。

（三）借助线性变换实现二次型到标准型的转化

设有二次型 $f(X)\ =X^TAX$ ，期望通过线性变换化为标准型（仅含平方项，无交叉项，如 $f(y_1, y_2)\ =k_1y_1^2 + k_2y_2^2$ ）。

采用可逆线性变换 $\ = CY$ （ $C$ 为可逆矩阵），将其代入 $f (X)$ 得 $f(Y)\ =Y^T(C^TAC)Y$ 。若能找出合适的 $C$ 使 $C^TAC$ 为对角矩阵， $f (Y)$ 即为标准型。

例如，二次型 $f(x_1, x_2)\ =2x_1^2 + 4x_1x_2+3x_2^2$ ，其矩阵 $=(2223)A\ =\begin{pmatrix}2&2\\2&3\end{pmatrix}$ 。选取可逆矩阵 $=(1−101)C\ =\begin{pmatrix}1& - 1\\0&1\end{pmatrix}$ 。

先计算 $=(10−11)C^T\ =\begin{pmatrix}1&0\\ - 1&1\end{pmatrix}$ ，再算 $=(2001)C^TAC\ =\begin{pmatrix}1&0\\ - 1&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1& - 1\\0&1\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}$ 。

设 $=(x1x2)X\ =\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$ ， $=(y1y2)Y\ =\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}$ ，由 $\ = CY$ 即 $=(y1−y2y2)\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}1& - 1\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}y_1 - y_2\\y_2\end{pmatrix}$ 。

则 $=2y12+y22f(Y)\ =Y^T(C^TAC)Y\ =\begin{pmatrix}y_1&y_2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2&0\\0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_1\\y_2\end{pmatrix}\ =2y_1^2 + y_2^2$ ，成功化为标准型。

三、合同对角化与正交变换化标准型

（一）合同的定义阐释

设 $A$ 和 $B$ 为两个 $n$ 阶矩阵，若存在可逆矩阵 $C$ 使 $B \ = C^TAC$ ，则称 $A$ 与 $B$ 合同。即便矩阵非实对称，满足此条件也属合同。

（二）合同对角化实例

对于对称矩阵 $=(1221)A\ =\begin{pmatrix}1&2\\2&1\end{pmatrix}$ ，可进行正交相似对角化。

先求其特征值，特征多项式为 $=(λ−3)(λ+1)\vert\lambda E - A\vert\ =\begin{vmatrix}\lambda - 1& - 2\\ - 2&\lambda - 1\end{vmatrix}\ =(\lambda - 1)^2 - 4\ =\lambda^2 - 2\lambda - 3 \ = (\lambda - 3)(\lambda + 1)$ 。

令 $=0\vert\lambda E - A\vert \ = 0$ ，解得特征值 $=3\lambda_1 \ = 3$ ， $=−1\lambda_2 \ = - 1$ 。

对于 $=3\lambda_1 \ = 3$ ，解齐次线性方程组 $\ = 0$ ，即 $=(00)\begin{pmatrix}2& - 2\\ - 2&2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ ，得特征向量 $=(11)\xi_1\ =\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ ，单位化后 $=12(11)\gamma_1\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ 。

对于 $=−1\lambda_2 \ = - 1$ ，解齐次线性方程组 $\ = 0$ ，即 $=(00)\begin{pmatrix}-2& - 2\\ - 2&-2\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ ，得特征向量 $=(1−1)\xi_2\ =\begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}$ ，单位化后 $=12(1−1)\gamma_2\ =\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1\\ - 1\end{pmatrix}$ 。

令正交矩阵 $\ = (\gamma_1,\gamma_2)\ =\begin{pmatrix}\frac{1}{\sqrt{2}}&\frac{1}{\sqrt{2}}\\\frac{1}{\sqrt{2}}&-\frac{1}{\sqrt{2}}\end{pmatrix}$ ，则 $=(300−1)Q^TAQ\ =\begin{pmatrix}3&0\\0& - 1\end{pmatrix}$ ，实现了合同对角化，这里 $Q$ 是可逆矩阵 $C$ 的特殊形式。

（三）正交变换化标准型解析

正交变换是借助正交矩阵 $Q$ 进行的线性变换，即 $\ = QY$ 。将其用于二次型 $f(X)\ =X^TAX$ ，可得 $=YTΛYf(Y)\ =Y^T(Q^TAQ)Y \ = Y^T\Lambda Y$ ， $Λ\Lambda$ 为对角矩阵，对角元素是矩阵 $A$ 的特征值。

此外，配方法也是可逆线性变换的一种。比如二次型 $f(x_1, x_2)\ =x_1^2 + 6x_1x_2+10x_2^2$ ，配方如下：

$\begin{align*} f(x_1, x_2)&\ =x_1^2 + 6x_1x_2+10x_2^2\\ &\ =(x_1^2 + 6x_1x_2 + 9x_2^2)+x_2^2\\ &\ =(x_1 + 3x_2)^2+x_2^2 \end{align*}$

设 $y_1\ =x_1 + 3x_2$ ， $y_2\ =x_2$ ，即 $x_1\ =y_1 - 3y_2$ ， $x_2\ =y_2$ ，这是可逆线性变换，将原二次型化为标准型 $f(y_1, y_2)\ =y_1^2 + y_2^2$ 。

四、二次型的其他核心概念

（一）规范形系数为一的个数解读

二次型的规范型是标准型的特殊形式，系数仅为 $1$ 、 $- 1$ 或 $0$ 。规范形中系数为 $1$ 的个数是关键特征。

例如规范型 $f(y_1, y_2, y_3)\ =y_1^2 - y_2^2+0y_3^2$ ，系数为 $1$ 的个数是 $1$ 。

（二）二次型矩阵的秩与正负惯性指数的关系解读

二次型矩阵 $A$ 的秩 $r (A)$ 等于其规范形中系数不为 $0$ 的项数。正惯性指数是规范形中系数为 $1$ 的项数，负惯性指数是规范形中系数为 $- 1$ 的项数，满足 $=r(A)\ =$ 正惯性指数 $+$ 负惯性指数。

如规范型 $f(y_1, y_2, y_3)\ =y_1^2 - y_2^2+0y_3^2$ ，正惯性指数为 $1$ ，负惯性指数为 $1$ ，矩阵的秩 $=2r(A)\ =1 + 1 \ = 2$ 。

（三）惯性定理解读

惯性定理表明，二次型的正、负惯性指数由二次型自身唯一确定，与化为规范型所采用的可逆线性变换无关。

例如二次型 $f(x_1, x_2)\ =2x_1^2 - 3x_2^2$ ，无论通过何种可逆线性变换化为规范型，正惯性指数始终为 $1$ （对应 $x_1^2$ 项），负惯性指数始终为 $1$ （对应 $x_2^2$ 项前面的负号）。
以下是对线性代数中二次型相关内容的进一步拓展和详细讲解：

五、用正交变换化二次型为标准型的详细步骤及案例

（一）步骤详述

求二次型矩阵的特征值：对于二次型 $f(X)\ =X^TAX$ ，先确定其对称矩阵 $A$ ，然后计算特征多项式 $∣λE−A∣\vert\lambda E - A\vert$ ，令 $=0\vert\lambda E - A\vert \ = 0$ ，求解得到矩阵 $A$ 的特征值 $,λn\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n$ 。这些特征值将构成最终标准型中平方项的系数。
求对应特征值的特征向量：针对每个特征值 $λi\lambda_i$ ，解齐次线性方程组 $=0(\lambda_i E - A)X \ = 0$ ，得到的基础解系就是 $λi\lambda_i$ 对应的特征向量。这些特征向量是后续操作的基础。
特征向量的正交化：如果不同特征值对应的特征向量已经正交（实对称矩阵不同特征值对应的特征向量必定正交），则无需对它们进行正交化。但对于重特征值对应的特征向量，需要使用施密特正交化方法将其正交化。设重特征值 $λ\lambda$ 对应的特征向量为 $,ξs\xi_1,\xi_2,\cdots,\xi_s$ （ $s$ 为重数），施密特正交化过程如下：
- 令 $=ξ1\beta_1 \ = \xi_1$ ；
  - $=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1\beta_2 \ = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$ ；
  - $=ξ3−(ξ3,β1)(β1,β1)β1−(ξ3,β2)(β2,β2)β2\beta_3 \ = \xi_3 - \frac{(\xi_3,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1 - \frac{(\xi_3,\beta_2)}{(\beta_2,\beta_2)}\beta_2$ ；
- 以此类推， $=1s−1(ξs,βi)(βi,βi)βi\beta_s \ = \xi_s - \sum_{i \ = 1}^{s - 1}\frac{(\xi_s,\beta_i)}{(\beta_i,\beta_i)}\beta_i$ 。
特征向量的单位化：将正交化后的特征向量（或者原本就正交的特征向量）进行单位化。对于向量 $β\beta$ ，其单位向量 $=β∣β∣\gamma \ = \frac{\beta}{\vert\beta\vert}$ ，其中 $=(β,β)\vert\beta\vert \ = \sqrt{(\beta,\beta)}$ 是向量 $β\beta$ 的长度。
构造正交矩阵 $Q$ 并得到标准型：把所有单位化后的特征向量按列排列，构成正交矩阵 $\ = (\gamma_1,\gamma_2,\cdots,\gamma_n)$ 。通过正交变换 $\ = QY$ ，二次型 $f (X)$ 可化为标准型 $=YTΛYf(Y)\ =Y^T(Q^TAQ)Y \ = Y^T\Lambda Y$ ，其中 $Λ\Lambda$ 是对角矩阵，对角线上的元素就是前面求得的特征值。

（二）案例演示

设二次型 $f(x_1,x_2,x_3)\ =2x_1^2 + 5x_2^2 + 5x_3^2 + 4x_1x_2 - 4x_1x_3 - 8x_2x_3$ 。

确定二次型矩阵 $A$ ：
根据前面介绍的二次型矩阵的写法，可得 $\ = \begin{pmatrix}2&2& - 2\\2&5& - 4\\ - 2& - 4&5\end{pmatrix}$ 。
求特征值：
计算特征多项式 $∣λE−A∣\vert\lambda E - A\vert$ ：
$\begin{align*} \vert\lambda E - A\vert&\ =\begin{vmatrix}\lambda - 2& - 2&2\\ - 2&\lambda - 5&4\\2&4&\lambda - 5\end{vmatrix}\\ &\ = (\lambda - 2)[(\lambda - 5)^2 - 16]+2[-2(\lambda - 5) - 8]+2[-8 - 2(\lambda - 5)]\\ &\ = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 10\lambda + 25 - 16)-4(\lambda - 5) - 16 - 16 - 4(\lambda - 5)\\ &\ = (\lambda - 2)(\lambda^2 - 10\lambda + 9)-8(\lambda - 5) - 32\\ &\ = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 9)-8\lambda + 40 - 32\\ &\ = (\lambda - 2)(\lambda - 1)(\lambda - 9)-8\lambda + 8\\ &\ = (\lambda - 1)[(\lambda - 2)(\lambda - 9) - 8]\\ &\ = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 11\lambda + 18 - 8)\\ &\ = (\lambda - 1)(\lambda^2 - 11\lambda + 10)\\ &\ = (\lambda - 1)^2(\lambda - 10) \end{align*}$
令 $=0\vert\lambda E - A\vert \ = 0$ ，解得特征值 $=1\lambda_1 \ = \lambda_2 \ = 1$ ， $=10\lambda_3 \ = 10$ 。
求特征向量：
- 当 $=1\lambda_1 \ = \lambda_2 \ = 1$ 时，解齐次线性方程组 $\ = 0$ ， $\ = \begin{pmatrix}-1& - 2&2\\ - 2& - 4&4\\2&4& - 4\end{pmatrix}$ ，通过初等行变换化为行最简形 $(12−2000000)\begin{pmatrix}1&2& - 2\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}$ 。
  令 $x_3 \ = t$ ， $x_2 \ = s$ ，则 $x_1 \ = 2t - 2s$ ，得到基础解系 $=(2−10)\xi_1 \ = \begin{pmatrix}2\\ - 1\\0\end{pmatrix}$ ， $=(201)\xi_2 \ = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}$ 。
- 当 $=10\lambda_3 \ = 10$ 时，解齐次线性方程组 $\ = 0$ ， $\ = \begin{pmatrix}8& - 2&2\\ - 2&5&4\\2&4&5\end{pmatrix}$ ，通过初等行变换化为行最简形 $(1012011000)\begin{pmatrix}1&0&\frac{1}{2}\\0&1&1\\0&0&0\end{pmatrix}$ 。
  令 $x_3 \ = 2t$ ，则 $x_1 \ = - t$ ， $x_2 \ = - 2t$ ，得到基础解系 $=(−1−22)\xi_3 \ = \begin{pmatrix}-1\\ - 2\\2\end{pmatrix}$ 。
特征向量的正交化：
对于 $ξ1\xi_1$ 和 $ξ2\xi_2$ （对应重特征值 $=1\lambda \ = 1$ ），使用施密特正交化方法：
- $=(2−10)\beta_1 \ = \xi_1 \ = \begin{pmatrix}2\\ - 1\\0\end{pmatrix}$ ；
- $=ξ2−(ξ2,β1)(β1,β1)β1\beta_2 \ = \xi_2 - \frac{(\xi_2,\beta_1)}{(\beta_1,\beta_1)}\beta_1$
$=4(\xi_2,\beta_1)\ =2\times2 + 0\times(-1)+1\times0 \ = 4$ ， $=5(\beta_1,\beta_1)\ =2^2 + (-1)^2 + 0^2 \ = 5$ ，
则 $=(25451)\beta_2 \ = \begin{pmatrix}2\\0\\1\end{pmatrix}-\frac{4}{5}\begin{pmatrix}2\\ - 1\\0\end{pmatrix}\ =\begin{pmatrix}\frac{2}{5}\\\frac{4}{5}\\1\end{pmatrix}$ 。
$ξ3\xi_3$ 与 $ξ1,ξ2\xi_1,\xi_2$ （对应不同特征值）本身正交，无需正交化。
特征向量的单位化：
- $=5\vert\beta_1\vert \ = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + 0^2}\ =\sqrt{5}$ ， $=(25−150)\gamma_1 \ = \frac{\beta_1}{\vert\beta_1\vert}\ =\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}\\-\frac{1}{\sqrt{5}}\\0\end{pmatrix}$ ；
- $=35\vert\beta_2\vert \ = \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (\frac{4}{5})^2 + 1^2}\ =\frac{3}{\sqrt{5}}$ ， $=(235435535)\gamma_2 \ = \frac{\beta_2}{\vert\beta_2\vert}\ =\begin{pmatrix}\frac{2}{3\sqrt{5}}\\\frac{4}{3\sqrt{5}}\\\frac{5}{3\sqrt{5}}\end{pmatrix}$ ；
- $=3\vert\xi_3\vert \ = \sqrt{(-1)^2 + (-2)^2 + 2^2}\ =3$ ， $=(−13−2323)\gamma_3 \ = \frac{\xi_3}{\vert\xi_3\vert}\ =\begin{pmatrix}-\frac{1}{3}\\-\frac{2}{3}\\\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ 。
构造正交矩阵 $Q$ 并得到标准型：
令 $\ = (\gamma_1,\gamma_2,\gamma_3)\ =\begin{pmatrix}\frac{2}{\sqrt{5}}&\frac{2}{3\sqrt{5}}&-\frac{1}{3}\\-\frac{1}{\sqrt{5}}&\frac{4}{3\sqrt{5}}&-\frac{2}{3}\\0&\frac{5}{3\sqrt{5}}&\frac{2}{3}\end{pmatrix}$ ，通过正交变换 $\ = QY$ ，二次型 $f (X)$ 化为标准型 $f(Y)\ =Y^T(Q^TAQ)Y \ = y_1^2 + y_2^2 + 10y_3^2$ 。

六、二次型正定性的判定

（一）正定性的定义

设 $f(X)\ =X^TAX$ 是实二次型，如果对于任意非零向量 $X$ ，都有 $f (X) > 0$ ，则称二次型 $f (X)$ 为正定二次型，此时矩阵 $A$ 称为正定矩阵；如果对于任意非零向量 $X$ ，都有 $f(X)≥0f(X)\geq0$ ，则称二次型 $f (X)$ 为半正定二次型，矩阵 $A$ 称为半正定矩阵；如果对于任意非零向量 $X$ ，都有 $f (X) < 0$ ，则称二次型 $f (X)$ 为负定二次型，矩阵 $A$ 称为负定矩阵；如果对于任意非零向量 $X$ ，都有 $f(X)≤0f(X)\leq0$ ，则称二次型 $f (X)$ 为半负定二次型，矩阵 $A$ 称为半负定矩阵；如果 $f (X)$ 的值有正有负，则称二次型 $f (X)$ 为不定二次型。

（二）判定方法

特征值法：实对称矩阵 $A$ 正定的充分必要条件是 $A$ 的特征值全大于 $0$ ；实对称矩阵 $A$ 半正定的充分必要条件是 $A$ 的特征值全大于等于 $0$ ；实对称矩阵 $A$ 负定的充分必要条件是 $A$ 的特征值全小于 $0$ ；实对称矩阵 $A$ 半负定的充分必要条件是 $A$ 的特征值全小于等于 $0$ ；实对称矩阵 $A$ 不定的充分必要条件是 $A$ 的特征值有正有负。
例如，对于前面提到的矩阵 $\ = \begin{pmatrix}2&2& - 2\\2&5& - 4\\ - 2& - 4&5\end{pmatrix}$ ，其特征值为 $1, 1, 10$ ，全大于 $0$ ，所以对应的二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 是正定二次型，矩阵 $A$ 是正定矩阵。
顺序主子式法：实对称矩阵 $=(aij)n×nA\ =(a_{ij})_{n\times n}$ 的各阶顺序主子式全大于 $0$ ，则 $A$ 是正定矩阵。 $A$ 的 $k$ 阶顺序主子式是指 $A$ 的左上角 $k×kk\times k$ 阶子矩阵的行列式，记为 $P_k$ ， $\ = 1,2,\cdots,n$ 。
例如，对于矩阵 $\ = \begin{pmatrix}2&2& - 2\\2&5& - 4\\ - 2& - 4&5\end{pmatrix}$ ：
- $=2>0P_1 \ = \vert2\vert \ = 2>0$ ；
- $=6>0P_2 \ = \begin{vmatrix}2&2\\2&5\end{vmatrix}\ =2\times5 - 2\times2 \ = 6>0$ ；
- $=10>0P_3 \ = \begin{vmatrix}2&2& - 2\\2&5& - 4\\ - 2& - 4&5\end{vmatrix}\ = 2\times\begin{vmatrix}5& - 4\\ - 4&5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2& - 4\\ - 2&5\end{vmatrix}-2\times\begin{vmatrix}2&5\\ - 2& - 4\end{vmatrix}\ = 2\times(25 - 16)-2\times(10 - 8)-2\times(-8 + 10)\ = 18 - 4 - 4 \ = 10>0$ 。
各阶顺序主子式全大于 $0$ ，所以矩阵 $A$ 是正定矩阵，二次型 $f(x_1,x_2,x_3)$ 是正定二次型。