列联相关系

一、定义速览

列联相关系数，英文名为contingency coefficient，是用于衡量两个分类变量之间关联程度的统计指标。当我们面对至少有一个变量的分类数大于2的情况时，它就能派上用场。比如，我们想了解不同年龄段（如青少年、中年人、老年人）和不同旅游目的地偏好（如海边、山区、城市）之间是否存在联系，就可以借助列联相关系数进行分析。

二、适用场景

适用于两个变量均为分类变量，且至少其中一个变量的类别数量不少于3个的情形。例如在市场调研中，分析不同性别（男、女）和不同购买产品类型（手机、电脑、平板、耳机）之间的关系；或者在社会学研究里，探讨不同文化程度（小学、中学、大学、研究生及以上）和对某一社会政策的态度（支持、中立、反对）的相关性。

三、关键符号解读

• 变量类别数：假设变量$x$被划分成$a$个类别，变量$y$被划分成$b$个类别，并且$a$和$b$至少有一个大于 2。
• $m_{ij}$：代表属于变量$x$的第$i$类别（$i=1,2,\cdots ,a$）同时又属于变量$y$的第$j$类别（$j=1,2,\cdots ,b$）的频数。比如在研究不同学历（变量$x$，分为高中、本科、硕士及以上）和不同运动喜好（变量$y$，分为篮球、足球、羽毛球）的例子中，$m_{12}$就表示高中学历且喜欢足球的人数。
• $a_i$：是变量$x$的第$i$类别对应的所有频数之和，计算方式为$a_i={\sum }_{j=1}^b{m}_{ij}$。例如在上述例子中，$a_1$就是高中学历的人在喜欢篮球、足球、羽毛球这三种情况的人数总和。
• $b_j$：是变量$y$的第$j$类别对应的所有频数之和，即$b_j={\sum }_{i=1}^a{m}_{ij}$。比如$b_2$就是喜欢足球的人中，高中学历、本科学历、硕士及以上学历的人数总和。
• $N$：表示所有观察数据的频数总和，也就是$N=\sum \sum m_{ij}$。

四、计算实操（以调查不同职业和对线上会议的满意度为例）

1. 数据收集：我们将职业分为教师、医生、程序员、公务员4类（即$a=4$），对线上会议的满意度分为非常不满意、不满意、满意、非常满意4类（即$b=4$）。共调查了300人（$N=300$），得到如下频数分布表：
   | 职业$╲$满意度 | 非常不满意 | 不满意 | 满意 | 非常满意 | 行总和$a_i$|
   | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
   | 教师 | 15（$m_{11}$） | 20（$m_{12}$） | 10（$m_{13}$） | 5（$m_{14}$） | 50（$a_1$） |
   | 医生 | 10（$m_{21}$） | 30（$m_{22}$） | 35（$m_{23}$） | 25（$m_{24}$） | 100（$a_2$） |
   | 程序员 | 5（$m_{31}$） | 10（$m_{32}$） | 15（$m_{33}$） | 20（$m_{34}$） | 50（$a_3$） |
   | 公务员 | 10（$m_{41}$） | 20（$m_{42}$） | 25（$m_{43}$） | 15（$m_{44}$） | 70（$a_4$） |
   | 列总和$b_j$| 40（$b_1$） | 80（$b_2$） | 85（$b_3$） | 65（$b_4$） | 300（$N$） |

2. 计算${\chi }^2$统计量
   根据公式${\chi }^2=N(\sum \sum \frac{m_{ij}^2}{a_i{b}_j}-1)$：
   $$\begin{array}{rl}& \sum \sum \frac{m_{ij}^2}{a_i{b}_j}\\ =& \frac{15^2}{50\times 40}+\frac{20^2}{50\times 80}+\frac{10^2}{50\times 85}+\frac{5^2}{50\times 65}+\\ & \frac{10^2}{100\times 40}+\frac{30^2}{100\times 80}+\frac{35^2}{100\times 85}+\frac{25^2}{100\times 65}+\\ & \frac{5^2}{50\times 40}+\frac{10^2}{50\times 80}+\frac{15^2}{50\times 85}+\frac{20^2}{50\times 65}+\\ & \frac{10^2}{70\times 40}+\frac{20^2}{70\times 80}+\frac{25^2}{70\times 85}+\frac{15^2}{70\times 65}\end{array}$$
   $$\begin{array}{rl}& \approx 0.1125+0.1+0.0235+0.0038+\\ & 0.025+0.1125+0.1441+0.0962+\\ & 0.00625+0.025+0.0529+0.0246+\\ & 0.0357+0.0714+0.1042+0.0482\\ & \approx 0.8816\end{array}$$
   则${\chi }^2=300\times (0.8816-1)=300\times (-0.1184)=35.52$（这里由于计算过程中存在小数近似，可能与理论值有极小偏差）。

3. 计算列联相关系数$C$
   根据公式$C=\sqrt{\frac{{\chi }^2}{N+{\chi }^2}}$，将${\chi }^2=35.52$，$N=300$代入可得：
   $$\begin{array}{rl}C& =\sqrt{\frac{35.52}{300+35.52}}\\ & =\sqrt{\frac{35.52}{335.52}}\\ & \approx \sqrt{0.1059}\\ & \approx 0.325\end{array}$$

五、显著性判断

我们通过${\chi }^2$检验来确定这个结果是否显著。先计算自由度$df=(a-1)\times (b-1)=(4-1)\times (4-1)=9$。假设我们设定显著性水平为$0.05$，查${\chi }^2$分布表得到临界值。如果计算出的${\chi }^2=35.52$大于临界值，那就拒绝原假设（原假设是不同职业和对线上会议的满意度相互独立），说明列联相关系数显著，即不同职业和对线上会议的满意度之间存在相关关系；要是${\chi }^2$小于等于临界值，就不能拒绝原假设，也就是没有足够证据表明两者之间有关联。

六、避坑指南

1. 不能把列联相关系数所体现的关联直接等同于因果关系。比如计算出不同职业和对线上会议满意度有相关性，但不能说职业直接导致了某种满意度，可能还有其他因素在起作用。
2. 样本的质量和代表性对结果影响很大。样本容量过小，得到的列联相关系数可能不准确，不能真实反映总体情况。所以尽量保证有足够多的样本数量，并且抽样方式要科学合理 。