如是我闻： 离散卷积(Discrete Convolution)是CNN中一个非常重要的操作。它是图像处理和特征提取的核心，用来从输入图像中提取不同的信息（如边缘、纹理等）。

1. 公式解析

离散卷积公式如下：
$$(x\ast k{)}_{ij}=\sum _{p,q}{x}_{i+p,j+q}\cdot k_{r-p,r-q}$$

让我们来拆解它的含义：

(1) 输入

• $x$：输入的图像，通常是一个二维矩阵。每个元素代表一个像素的值（灰度值或其他）。
• $k$：卷积核（kernel），也是一个小矩阵，通常用于提取图像中的某些特征，比如边缘、角点等。

(2) 输出

• $(x\ast k{)}_{ij}$：输出的卷积结果矩阵，对应图像 $x$ 上某一点 $(i,j)$的卷积值。
• 这个结果是通过将卷积核 $k$ 放在图像 $x$ 上滑动计算得到的。

(3) 核心计算

• 公式的核心是：对于图像中的每个位置 $(i,j)$，将卷积核 $k$ 与图像对应区域的像素逐点相乘，然后求和。
• $p,q$：用于枚举卷积核中的元素。
• $r$：表示卷积核的中心点位置。

特别注意：公式中的 $k_{r-p,r-q}$ 表示对卷积核进行行和列的翻转，这是离散卷积的重要步骤。

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2. 举例

让我们通过一个例子来理解公式的实际操作过程。

(1) 输入图像 $x$

假设图像 $x$ 是一个 $3\times 3$ 的矩阵：
$$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 40\\ 0.25& 0& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right]$$

(2) 卷积核 $k$

假设卷积核 (k) 是一个 $2\times 2$ 的矩阵：
$$k=\left[\begin{array}{cc}0& 0.25\\ 0.5& 1\end{array}\right]$$

(3) 核的翻转

根据离散卷积的定义，需要将卷积核 $k$ 翻转：
$$\tilde{k}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

这一步的翻转操作是为了实现标准的卷积定义。翻转后再与图像做对齐计算。

(4) 卷积操作

将卷积核 $\tilde{k}$滑动到图像 $x$ 上，逐点计算输出。我们会对每个位置的局部矩阵进行点积并求和：

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3. 详细的计算步骤

假设卷积的输出是一个 $2\times 2$ 的矩阵，下面是每个位置的计算：

位置 (1,1) 的计算

将卷积核的左上角对齐图像的左上角（位置 $(1,1)$）：

$$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 40\\ 0.25& 0& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right]$$

$$\text{对齐子矩阵}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

$$\tilde{k}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

计算点积：
$$1\times 1+0.5\times 0.5+0.25\times 0.25+0\times 0=1+0.25+0.0625+0=1.3125$$

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位置 (1,2) 的计算

将卷积核滑动到图像的右侧（位置 ((1,2))）：
$$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 40\\ 0.25& 0& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right]$$

$$\text{对齐子矩阵}=\left[\begin{array}{cc}0.5& 40\\ 0& 0\end{array}\right]$$

$$\tilde{k}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

计算点积：
$$1\times 0.5+0.5\times 40+0.25\times 0+0\times 0=0.5+20+0+0=20.5$$

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位置 (2,1) 的计算

将卷积核滑动到图像的下一行（位置 $(2,1)$）：
$$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 40\\ 0.25& 0& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right]$$

$$\text{对齐子矩阵}=\left[\begin{array}{cc}0.25& 0\\ 0& 40\end{array}\right]$$
$$\tilde{k}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

计算点积：
$$1\times 0.25+0.5\times 0+0.25\times 0+0\times 40=0.25+0+0+0=0.25$$

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位置 (2,2) 的计算

将卷积核滑动到图像的右下角（位置 ((2,2))）：
$$x=\left[\begin{array}{ccc}1& 0.5& 40\\ 0.25& 0& 0\\ 0& 0& 40\end{array}\right]$$

$$\text{对齐子矩阵}=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 40& 0\end{array}\right]$$

$$\tilde{k}=\left[\begin{array}{cc}1& 0.5\\ 0.25& 0\end{array}\right]$$

计算点积：
$$1\times 0+0.5\times 0+0.25\times 40+0\times 0=0+0+10+0=10$$

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4. 输出结果

将以上计算结果整理成一个输出矩阵：
$$\text{输出}=\left[\begin{array}{cc}1.3125& 20.5\\ 0.25& 10\end{array}\right]$$

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5. 总的来说

• 离散卷积的本质是通过卷积核提取图像的局部特征。
• 核心步骤：
  1. 将卷积核翻转；
  2. 按位置滑动；
  3. 在每个位置计算局部点积；
  4. 输出一个新的矩阵作为特征图。

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以上