无穷小与无穷大相关知识

一、无穷小的定义与性质

（一）定义

• 以零为极限：当自变量$x$趋近于某个值（如$x\to \infty$或$x\to 2$等）时，若函数的极限值为$0$，则该函数是在该趋近过程中的无穷小。
  • 例如：
    • 当$x\to \infty$时，${\lim }_{x\to \infty }\frac{1}{x}=0$，所以$\frac{1}{x}$是$x\to \infty$时的无穷小，即$x$增大时，$\frac{1}{x}$趋近于$0$。
    • 当$x\to 2$时，${\lim }_{x\to 2}(3x-6)=0$，则$3x-6$是$x\to 2$时的无穷小，即$x$趋近于$2$时，$3x-6$趋近于$0$。

（二）基本性质

1. 有限个无穷小的代数和仍是无穷小
   • 当$x\to a$时，若${\alpha }_1$，${\alpha }_2$，$\cdots$，${\alpha }_n$都是无穷小，那么它们的代数和${\alpha }_1+{\alpha }_2+\cdots +{\alpha }_n$，当$x\to a$时极限仍为$0$，仍是无穷小。
   • 例如：当$x\to 0$时，$x$，$2x$，$3x$都是无穷小，其和$x+2x+3x=6x$，当$x\to 0$时，${\lim }_{x\to 0}6x=0$，所以$6x$是无穷小。
2. 有限个无穷小的积仍是无穷小
   • 当$x\to a$时，若${\beta }_1$，${\beta }_2$，$\cdots$，${\beta }_m$是无穷小，那么它们的乘积${\beta }_1\cdot {\beta }_2\cdots {\beta }_m$，当$x\to a$时极限为$0$，仍是无穷小。
   • 比如：当$x\to 0$时，$x^2$和$x^3$都是无穷小，它们的积$x^2\cdot x^3=x^5$，当$x\to 0$时，${\lim }_{x\to 0}{x}^5=0$，所以$x^5$是无穷小。
3. 有界变量与无穷小的积仍是无穷小
   • 设函数$u(x)$在$x$的某个变化过程中有界（即存在正数$M$，使得$|u(x)|\le M$），同时$\gamma$是该过程中的无穷小，那么$u(x)\cdot \gamma$的极限为$0$，仍是无穷小。
   • 例如：当$x\to \infty$时，$\sin x$是有界函数（$|\sin x|\le 1$），$\frac{1}{x}$是无穷小，那么$\sin x\cdot \frac{1}{x}$，当$x\to \infty$时，${\lim }_{x\to \infty }\sin x\cdot \frac{1}{x}=0$，所以$\sin x\cdot \frac{1}{x}$是无穷小。
4. 无限个无穷小之和不一定是无穷小
   • 例如：${\lim }_{n\to \infty }(\frac{1}{n^2}+\frac{2}{n^2}+\cdots +\frac{n}{n^2})$，括号里每一项当$n\to \infty$时都是无穷小，通过等差数列求和公式化简为$\frac{n(n+1)}{2n^2}$，进一步化简为${\lim }_{n\to \infty }\frac{n+1}{2n}=\frac{1}{2}$，结果不是$0$，说明无限个无穷小之和不一定是无穷小。

（三）无穷小的商不一定是无穷小

• 举例：
  • 当$x\to 0$时，${\lim }_{x\to 0}\frac{x}{2x}$，分子分母约掉$x$后得${\lim }_{x\to 0}\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$，是常数，不是无穷小。
  • 当$x\to 0$时，${\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{2x}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{2}=0$，是无穷小。
  • 当$x\to 0$时，${\lim }_{x\to 0}\frac{2x}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{2}{x}=\infty$，不是无穷小。
  • 由此可见，两个无穷小量相除，结果不确定，可能是常数、无穷小或无穷大等。

二、极限与无穷小的关系

（一）含义

• ${\lim }_{x\to x_0}f(x)=A$的充要条件是$f(x)=A+\alpha (x)$，其中$\alpha (x)$是$x\to x_0$时的无穷小。
  • 当$x$趋近于$x_0$时，若函数$f(x)$极限是$A$，则可将$f(x)$拆分为常数$A$和当$x$趋近于$x_0$时极限为$0$的函数$\alpha (x)$。
  • 反之，若$f(x)$可表示为$A+\alpha (x)$，且$\alpha (x)$是$x\to x_0$时的无穷小，那么当$x$趋近于$x_0$时，$f(x)$极限是$A$。

（二）举例

• 假设函数$f(x)=2x+3$，当$x\to 1$时，${\lim }_{x\to 1}f(x)={\lim }_{x\to 1}(2x+3)=5$。
  • 可将$f(x)$写成$f(x)=5+(2x-2)$，这里$5$是常数$A$，$(2x-2)$是$\alpha (x)$。
  • 当$x\to 1$时，${\lim }_{x\to 1}(2x-2)=2\times 1-2=0$，说明$(2x-2)$是$x\to 1$时的无穷小。
  • 由此可知，知道函数$f(x)$在某点极限值$A$后，可将$f(x)$表示成$A$加该点趋近于$0$的函数（无穷小）；反之，若$f(x)$能表示成这种形式，也能知道其在该点极限是常数$A$。

三、无穷大的概念

（一）含义

• 无穷大不是一个具体的大数值，而是与函数变化过程相关的概念。

（二）符号表示

• 当$x$趋近于$x_0$时，若${\lim }_{x\to x_0}f(x)=\infty$或$f(x)\to \infty (x\to x_0)$，表示在$x$趋近于$x_0$过程中，函数$f(x)$取值趋势是无穷大。

（三）举例

• 对于函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，当$x$趋近于$1$时，分母$x-1$趋近于$0$，$f(x)$的值越来越大无上限，此时${\lim }_{x\to 1}f(x)=\infty$，即$f(x)$在$x\to 1$过程中是无穷大。

四、无穷小和无穷大的关系

（一）关系阐述

• 在自变量变换的同一过程中，若函数$f(x)$是无穷大，那么$\frac{1}{f(x)}$是无穷小。

（二）举例

• 对于函数$f(x)=\frac{1}{x-1}$，当$x\to 1$时，$f(x)$是无穷大，那么函数$g(x)=\frac{1}{f(x)}=x-1$，当$x\to 1$时，${\lim }_{x\to 1}g(x)={\lim }_{x\to 1}(x-1)=0$，表明$g(x)$在$x\to 1$过程中是无穷小，验证了两者关系。

五、无穷小的比较

（一）前提条件

• 假设$\alpha =\alpha (x)$，$\beta =\beta (x)$都是无穷小，即当$x\to x_0$时，${\lim }_{x\to x_0}\alpha (x)=0$，${\lim }_{x\to x_0}\beta (x)=0$。

（二）不同情况及含义

1. 高阶无穷小

• 定义：若${\lim }_{x\to x_0}\frac{\beta }{\alpha }=0$，则称$\beta$是比$\alpha$高阶无穷小。
• 举例理解：当$x\to 0$时，设$\alpha (x)=x$，$\beta (x)=x^2$，则${\lim }_{x\to 0}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x^2}{x}={\lim }_{x\to 0}x=0$，意味着$x$趋近于$0$时，$x^2$趋近于$0$速度比$x$快得多，所以$x^2$是比$x$高阶的无穷小，可想象$x^2$更快“奔向”$0$，$x$相对“慢”，故$\beta (x)$（$x^2$）是比$\alpha (x)$（$x$）高阶无穷小。

2. 低阶无穷小

• 定义：当${\lim }_{x\to x_0}\frac{\beta }{\alpha }=\infty$时，称$\beta$是比$\alpha$低阶无穷小。
• 举例：当$x\to 0$，令$\alpha (x)=x^2$，$\beta (x)=x$，此时${\lim }_{x\to 0}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{x}{x^2}={\lim }_{x\to 0}\frac{1}{x}=\infty$，表明$x$趋近于$0$时，$x$趋近于$0$速度比$x^2$慢很多，所以$x$是比$x^2$低阶的无穷小，就像在趋近于$0$的“赛道”上，$x^2$已快速接近终点（$0$），$x$还在后面，故$\beta (x)$（$x$）是比$\alpha (x)$（$x^2$）低阶无穷小。

3. 同阶无穷小

• 定义：若${\lim }_{x\to x_0}\frac{\beta }{\alpha }=C\ne 0$，则称$\beta$与$\alpha$是同阶无穷小。
• 举例：当$x\to 0$，$\alpha (x)=2x$，$\beta (x)=3x$，那么${\lim }_{x\to 0}\frac{\beta (x)}{\alpha (x)}={\lim }_{x\to 0}\frac{3x}{2x}=\frac{3}{2}$（不为$0$的常数），说明$x$趋近于$0$时，$2x$和$3x$趋近于$0$速度差不多，“齐头并进”，所以$2x$和$3x$是同阶无穷小。