机器学习实验6——逻辑回归

本次实验设计逻辑回归的相关知识，逻辑回归本质并不是一个回归问题而是一个二分类问题，通过sigmoid函数将数据集映射到0-1的范围之内，而在为了得到最佳的回归系数，我们可以使用梯度上升或梯度下降算法，来确定最佳系数w，从而达到最佳的分类效果。在普通的梯度上身算法中，我们需要迭代算出最佳系数，时间复杂度过高，因此我们可以使用随机梯度上升算法来改进梯度上升算法的时间复杂度。

chill333

1996人浏览 · 2025-05-19 23:15:31

chill333 · 2025-05-19 23:15:31 发布

一.算法概述

1.1算法简述

逻辑回归是一种分类算法，它通过一个数学模型估计输入特征与目标类别之间的关系，用于解决二分类问题。虽然名字中有“回归”，但它是一个分类算法，因为它的输出是一个概率，用来预测样本属于某一类的可能性。

1.2sigmoid函数

假设我们有一串数据特征x，每项数据对应一个结果y，其中y只有两种结果，我们想要找到一个临界点来区分这些数据的类型，当大于等于这个分界点时为y1，当小于这个分界点时为y0，将数据特征与检测结果用函数表示则是：y=wx+b。但是这种函数难以达到二分类的效果（取值0-1），于是我们引入sigmoid函数。

sigmoid函数公式：

$y=\frac{1}{1+e^{-z}}$

其中z=wx+b

sigmoid函数图：

如图可知，sigmoid函数取值为0-1，当随着x增大，对应的sigmoid值将逼近于1，随着x减小，对应sigmoid这将逼近于0，在此函数中，任何大于0.5的数据将分入1类，小于0.5的被分入0类。所以逻辑回归也可以被看成是一种概率估计。

1.3损失函数

逻辑回归的损失，称为对数似然损失

$cost(h_{\theta }(x),y)=\left\{\begin{matrix} -log(h_{\theta }(x)) & y=1\\ -log(1-h_{\theta }(x)) & y=0 \end{matrix}\right.$

其中，y为真实值， $h_{\theta }(x)$ 为预测值。损失函数值越小越好。因此

当y=1时， $h_{\theta }(x)$ 值越大越好；当y=0时， $h_{\theta }(x)$ 值越小越好

所以完整损失函数为

$cost(h_{\theta }(x),y)=\sum_{i=1}^{m}-y_{i}log(h_{\theta }(x))-(1-y_{i})log(1-h_{\theta }(x))$

1.4梯度上升

为了找出最优的向量w，我们使用梯度上升法来求得。梯度上升法基于的思想是：要找到某函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。如果梯度记为 $\bigtriangledown$ ，则函数f(x,y)的梯度表示为：，这个梯度意味着要沿x的方向移动，沿y的方向移动。梯度的算子总是指向函数值增长最快的方向，移动量的大小称为步长，记作α。如此迭代，直到满足停止条件。梯度上升的迭代公式是： $w:=w+\alpha \bigtriangledown _{w}f(w)$ 。

二.算法实现

2.1收集数据

def loadDataSet():
    dataMat=[]; labelMat=[]
    fr=open("testSet1.txt")
    for line in fr.readlines(): #逐行读取
        lineArr=line.strip().split() #去掉行首尾的空白字符,默认按空格分割字符串
        #设置一个数组第一个值默认为1，第二个，第三个值为文件中前两个值
        dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2])) #读取每行的第三个值（标签值）
    return dataMat,labelMat

2.2logistc回归梯度上升优化算法

logistic算法：

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
    dataMatrix=mat(dataMatIn)#dataMatIn作为二维数组，每列代表不同的特征，每行代表每个训练样本
    labelMat=mat(classLabels).transpose()#将1行*100列的数组转化为100行*1列的数组
    m,n=shape(dataMatrix) #获取行数m（样本数），获取列数n（特征数）
    alpha=0.001  #学习率
    maxCycles=500 #最大迭代次数
    weights=ones((n,1)) #初始化权重为全 1 的列向量（形状 (n, 1)）
    for k in range(maxCycles):
        h=sigmoid(dataMatrix*weights)
        error=(labelMat-h) #计算预测值与真实标签的误差（形状 (m, 1)）
        weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
    return weights

画出决策边界：

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()#获取数据集dataMat和标签集labelMat
    dataArr=array(dataMat)#数据集转换为数组操作
    n=shape(dataArr)[0]#n为数据集的行数
    xcord1=[];ycord1=[]#xcord1和ycord1存储类别为1的数据点
    xcord2=[];ycord2=[]#xcord2和ycord2存储类别为2的数据点
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])==1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]);ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]);ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig=plt.figure()#创建图形对象fig
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red',marker='s')
    ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c='green')
    x=arange(-3.0,3.0,0.1)
    y=(-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]#根据weights计算纵坐标y
    ax.plot(x,y)
    plt.xlabel('X1');plt.ylabel('X2')
    plt.show()

运行截图：

2.3随机梯度上升

梯度上升算法在每次更新回归系数时都要遍历整个数据集，当样本数量较多，则会出现计算的复杂度过高问题。一种改进方法为：一次仅用一个样本点来更新回归系数，该方法称为随机梯度上升算法。由于可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因此随机梯度上升算法是一个在线学习算法。与“在线学习”相对应，一次处理所有数据被称作“批处理”。

def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.01
    weights=ones(n)
    for i in range(m):
        h=sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))#数值
        error=classLabels[i]-h#数值
        weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
    return weights

运行截图：

2.4改进的随机梯度上升算法

与梯度上升算法类似但是增加两处代码进行改进，alpha在每次迭代的时候都会调整，这回缓解数据波动或高频波动。另外虽然alpha会随着迭代次数不断减小，但永远不会减小到0。如果要处理的问题是动态化的，那么可以适当加大上述常数项，来确保新的值获得更大的回归系数。另外一点值得注意的是，在降低alpha的函数中，alpha每次减少1/(j+i)，其中j是迭代次数，i是样本点的下标（即本次迭代中第i个选出来的样本），当j<<max(i)时，alpha就不是严格下降的。第二点改进通过随机选取样本来更新回归系数。这种方法能减少周期性波动。

def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
    m,n=shape(dataMatrix)
    weights=ones(n)
    for j in range(numIter): 
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha=4/(1.0+j+i)+0.01#alpha在每次迭代时都会调整
            randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#随机选取样本
            h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error=classLabels[randIndex]-h
            weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights

运行截图：

2.5完整代码

from numpy import *
import matplotlib.pyplot as plt
#加载数据集
def loadDataSet():
    dataMat=[]; labelMat=[]
    fr=open("testSet1.txt")
    for line in fr.readlines(): #逐行读取
        lineArr=line.strip().split() #去掉行首尾的空白字符,默认按空格分割字符串
        #设置一个数组第一个值默认为1，第二个，第三个值为文件中前两个值
        dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2])) #读取每行的第三个值（标签值）
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
    dataMatrix=mat(dataMatIn)#dataMatIn作为二维数组，每列代表不同的特征，每行代表每个训练样本
    labelMat=mat(classLabels).transpose()#将1行*100列的数组转化为100行*1列的数组
    m,n=shape(dataMatrix) #获取行数m（样本数），获取列数n（特征数）
    alpha=0.001  #学习率
    maxCycles=500 #最大迭代次数
    weights=ones((n,1)) #初始化权重为全 1 的列向量（形状 (n, 1)）
    for k in range(maxCycles):
        h=sigmoid(dataMatrix*weights)
        error=(labelMat-h) #计算预测值与真实标签的误差（形状 (m, 1)）
        weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
    return weights

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()#获取数据集dataMat和标签集labelMat
    dataArr=array(dataMat)#数据集转换为数组操作
    n=shape(dataArr)[0]#n为数据集的行数
    xcord1=[];ycord1=[]#xcord1和ycord1存储类别为1的数据点
    xcord2=[];ycord2=[]#xcord2和ycord2存储类别为2的数据点
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])==1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]);ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]);ycord2.append(dataArr[i,2])
    fig=plt.figure()#创建图形对象fig
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red',marker='s')
    ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c='green')
    x=arange(-3.0,3.0,0.1)
    y=(-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]#根据weights计算纵坐标y
    ax.plot(x,y)
    plt.xlabel('X1');plt.ylabel('X2')
    plt.show()

def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.01
    weights=ones(n)
    for i in range(m):
        h=sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))#数值
        error=classLabels[i]-h#数值
        weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
    return weights

def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
    m,n=shape(dataMatrix)
    weights=ones(n)
    for j in range(numIter): 
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha=4/(1.0+j+i)+0.01#alpha在每次迭代时都会调整
            randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))#随机选取样本
            h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error=classLabels[randIndex]-h
            weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del(dataIndex[randIndex])
    return weights


if __name__=='__main__':  
    dataArr,labelMat=loadDataSet()
    weights1=gradAscent(dataArr,labelMat)
    print(weights1)
    plotBestFit(weights1.getA())
    weights2=stocGradAscent0(array(dataArr),labelMat)
    plotBestFit(weights2)
    print(weights2)
    weights3=stocGradAscent1(array(dataArr),labelMat)
    plotBestFit(weights3)
    print(weights3)