经典机器学习算法：线性回归与逻辑回归

1. 线性回归（Linear Regression）

1.1 基本概念

线性回归是一种用于预测连续值的监督学习算法，通过拟合输入特征与目标值之间的线性关系来进行预测。

1.2 数学模型

给定输入特征$X=[x_1,x_2,...,x_n]$，线性回归模型表示为：
$$y=w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n+b$$
其中：

• $y$为预测值
• $w_i$为权重
• $b$为偏置项

1.3 目标函数

线性回归的目标是最小化预测值与真实值之间的均方误差（MSE）：
$$L(w,b)=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)}{)}^2$$
其中：

• $m$为样本数量
• $y^{(i)}$为真实值
• ${\hat{y}}^{(i)}$为预测值

1.4 优化方法

通过梯度下降法更新参数：

1. 计算梯度：
   $$\frac{\partial L}{\partial w_j}=\frac{2}{m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)})x_j^{(i)}$$
   $$\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{2}{m}\sum _{i=1}^m(y^{(i)}-{\hat{y}}^{(i)})$$
2. 更新参数：
   $$w_j=w_j-\eta \frac{\partial L}{\partial w_j}$$
   $$b=b-\eta \frac{\partial L}{\partial b}$$

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2. 逻辑回归（Logistic Regression）

2.1 基本概念

逻辑回归是一种用于分类任务的监督学习算法，通过拟合输入特征与目标类别之间的概率关系来进行分类。

2.2 数学模型

给定输入特征$X=[x_1,x_2,...,x_n]$，逻辑回归模型表示为：
$$p(y=1|X)=\sigma (w_1{x}_1+w_2{x}_2+...+w_n{x}_n+b)$$
其中：

• $\sigma$为sigmoid函数：
  $$\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$$
• $p(y=1|X)$为输入$X$属于类别1的概率

2.3 目标函数

逻辑回归的目标是最小化交叉熵损失函数：
$$L(w,b)=-\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m[y^{(i)}\log ({\hat{y}}^{(i)})+(1-y^{(i)})\log (1-{\hat{y}}^{(i)})]$$
其中：

• $m$为样本数量
• $y^{(i)}$为真实类别（0或1）
• ${\hat{y}}^{(i)}$为预测概率

2.4 优化方法

通过梯度下降法更新参数：

1. 计算梯度：
   $$\frac{\partial L}{\partial w_j}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})x_j^{(i)}$$
   $$\frac{\partial L}{\partial b}=\frac{1}{m}\sum _{i=1}^m({\hat{y}}^{(i)}-y^{(i)})$$
2. 更新参数：
   $$w_j=w_j-\eta \frac{\partial L}{\partial w_j}$$
   $$b=b-\eta \frac{\partial L}{\partial b}$$

实现（欠）

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总结

线性回归用于预测连续值，通过最小化均方误差来拟合数据。

逻辑回归用于分类任务，通过最小化交叉熵损失来拟合数据。

两者都通过梯度下降法优化参数，是机器学习中最基础且重要的算法。